전파의 탄생: 와이파이 신호는 어떻게 허공을 건너올까?

누구의 어떤 원리인가요?

외르스테드와 앙페르가 밝힌 ‘전류와 자기장의 관계’입니다. 쉽게 말해, 전선에 전류가 흐르면 주변에 자기장이 생긴다는 뜻입니다. 외르스테드는 1820년 전류가 나침반 바늘을 움직이는 것을 관찰했고, 앙페르는 같은 해부터 전류 사이의 힘을 연구하며 그 관계를 수학적으로 정리해 나갔습니다. [6]

무선통신에서는 이렇게 쓰입니다

공유기는 송신 안테나에 방향과 크기가 바뀌는 전류를 흘려보냅니다. 그러면 안테나 주변의 자기장도 함께 달라집니다. 영상에서 전자의 움직임 곁에 자기장이 나타나는 장면을 이해하는 출발점입니다. 안테나를 설계할 때도 이런 전류와 장의 관계를 계산합니다. 다만 이 관계 하나만으로 전파가 멀리 퍼지는 과정까지 설명되지는 않습니다. [1][7]

자세히 보면: 영상의 오른손은 무엇을 뜻하나

긴 직선 도선에 일정한 전류가 흐를 때, 자기장의 방향은 도선을 둘러싸는 원의 접선 방향입니다. 오른손 엄지를 관습적인 전류 방향에 두면 나머지 손가락이 감기는 쪽이 자기장 방향입니다. 금속 안 전자의 평균 이동 방향은 그 전류 방향과 반대입니다. 오른손 규칙은 방향을 기억하는 방법이지, 그 자체가 별도의 실험 법칙은 아닙니다.

여기서 계산하려는 것은 ‘도선에서 이만큼 떨어진 곳의 자기장이 얼마나 셀까?’입니다. 충분히 긴 직선 도선에 일정한 전류가 흐르고 주변이 진공인 이상적인 경우를 생각합니다. 실제 안테나 전체를 이 식 하나로 계산하는 것은 아닙니다. [7]

기호부터 읽어 볼까요?

• B(비): 구하려는 자기장의 크기입니다. 단위 T(테슬라)를 씁니다.
• I(아이): 도선에 흐르는 전류입니다. 단위 A(암페어)를 씁니다.
• r(알): 도선 중심에서 관찰 지점까지의 거리입니다. 단위 m(미터)를 씁니다.
• μ₀(뮤 제로): 진공에서 전류와 자기장의 관계를 정하는 물리 상수입니다. 아래의 0은 ‘진공에서의 값’이라는 표기이지, 0을 곱한다는 뜻이 아닙니다.
• π(파이): 약 3.14인 원주율입니다. 2πr는 반지름 r인 원의 둘레입니다.
• ×는 곱하기, /는 나누기, =는 양쪽 값이 같다는 뜻입니다. μ₀I처럼 붙여 쓴 것도 곱하기입니다. →는 같은 관계를 B에 대해 정리했다는 표시입니다.

관계를 식으로B × 2πr = μ₀I → B = μ₀I / (2πr)

말로 풀면 자기장의 크기는 전류에 비례하고 도선까지의 거리에 반비례합니다. 같은 자리에서는 전류가 두 배면 자기장도 두 배입니다. 같은 전류라면 거리가 두 배일 때 자기장은 절반입니다.

숫자를 넣어 보면 1 A가 흐르는 도선에서 10 cm, 즉 0.1 m 떨어진 곳의 자기장은 약 2 μT입니다. μT(마이크로테슬라)는 100만 분의 1 T입니다. 전류만 2 A로 늘리면 약 4 μT, 전류를 1 A로 유지한 채 거리를 20 cm로 늘리면 약 1 μT가 됩니다. 이 예시는 도선 주변의 정적인 자기장 계산입니다. 뒤에서 다룰 ‘멀리 퍼진 전파의 전력’과는 거리 법칙이 다릅니다.

영상에서는 5번 ‘안테나 곁의 전기장과 자기장’에서 “전류가 흐르면 막대 둘레를 감싸는 자기장이 생긴다”고 설명하는 부분입니다. 영상은 방향과 관계를 보여 주고, 위 숫자 계산은 글에서 추가한 예시입니다.

무엇을 가능하게 했나

전류로 자기장을 조절한다는 관점은 전자석과 전동기 같은 기술의 바탕이 됐습니다. 영상에서는 ‘안테나의 전류와 그 주위 자기장’을 연결해 주는 첫 단추입니다. 정전류도 자기장을 만듭니다. ‘변할 때만 생긴다’는 설명은 정적인 장 자체가 없다는 뜻이 아니라, 영상에서 다루는 유도와 파동의 관계에 관한 것입니다.

누구의 어떤 원리인가요?

마이클 패러데이가 1831년에 발견한 ‘전자기 유도’입니다. 쉽게 말해, 코일을 지나는 자기장이 변하면 전압이 생긴다는 원리입니다. 렌츠는 1834년 여기에 ‘유도전류는 어느 방향으로 흐르는가’라는 답을 더했습니다. [4][5]

무선통신에서는 이렇게 쓰입니다

고리 모양 수신 안테나로 전파를 받는 경우를 생각해 보세요. 도착한 전파의 자기장이 고리를 지나는 동안 계속 변하면 안테나에 작은 전압이 생깁니다. 수신기는 이 전기 신호를 처리해 정보를 읽습니다. ‘공간의 변화가 수신 안테나의 전기 신호가 된다’는 연결을 보여 주는 예입니다. 다만 모든 안테나가 이 고리와 같은 방식으로 동작하는 것은 아닙니다. [7]

자세히 보면: 실험에서 식으로

패러데이의 관련 연구는 1832년에 출판됐고, 조지프 헨리도 독립적으로 유도 현상을 연구했습니다. 이 원리는 다음과 같은 실험으로 이해할 수 있습니다. [4]

코일과 자석의 상대 위치가 바뀌면 전압이 생기고, 같은 배치에서 자석을 멈추면 그 유도 전압은 사라집니다. ‘자석이 얼마나 센가’뿐 아니라 ‘코일을 지나는 자기장의 양이 얼마나 빨리 바뀌는가’를 살피는 식입니다. [4][5]

기호부터 읽어 볼까요?

• ℰ(기전력): 유도되어 생긴 전압에 해당하는 양입니다. 단위 V(볼트)를 씁니다. 이름에 ‘력’이 들어가도 힘의 단위로 재는 것은 아닙니다.
• N(엔): 코일을 감은 횟수입니다. 100회 감으면 N은 100입니다.
• Φ(파이): 코일 한 고리를 지나는 자기선속입니다. 면을 통과하는 자기장을 방향까지 고려해 합한 양이며, 단위 Wb(웨버)를 씁니다. 원주율 π와는 다른 기호입니다.
• B(비): 자기장의 크기, 단위는 T(테슬라)입니다. A(에이): 고리의 면적, 단위는 m²(제곱미터)입니다. 여기서 A는 면적을 나타내는 변수이며 전류 단위인 암페어와 구별합니다.
• t(티): 시간, 단위는 s(초)입니다. dΦ/dt는 ‘시간에 따른 자기선속의 변화율’ 전체를 뜻합니다. d를 별도의 숫자처럼 곱하거나 나누는 것이 아닙니다. 일정하게 변하는 예에서는 ‘선속 변화량 ÷ 걸린 시간’으로 계산할 수 있습니다.
• −(마이너스)는 변화에 저항하는 방향을 나타냅니다. ×는 곱하기, =는 같다는 뜻이며, BA도 B와 A를 곱한 값입니다.

먼저 코일의 면적과 자기장의 세기를 합쳐 자기선속을 구합니다. 고리의 모양·방향이 고정돼 있고, 균일한 자기장이 면에 수직으로 통과할 때에만 아래의 간단한 곱셈을 쓸 수 있습니다.

관계를 식으로Φ = B × A

말로 풀면 같은 크기의 고리라면 자기장이 두 배로 세질 때 그 고리를 통과하는 자기선속도 두 배입니다. 반대로 자기장이 같다면 고리의 면적이 두 배일 때 선속이 두 배입니다.

다음 식은 그렇게 구한 선속이 얼마나 빨리 변하는지를 전압으로 연결합니다. 각 고리에 같은 선속이 걸린다고 가정합니다.

관계를 식으로ℰ = −N × dΦ/dt

말로 풀면 코일을 많이 감을수록, 그리고 고리 하나를 지나는 선속이 더 빨리 변할수록 유도 전압의 크기가 커집니다. 선속이 그대로라면 변화율은 0이므로, 이 원인으로 생기는 유도 전압도 0입니다.

숫자를 넣어 보면

• 100회 감은 코일의 고리 하나가 10 cm²라면, 계산에 쓰는 면적은 0.001 m²입니다.
• 면에 수직인 자기장이 0.1초 동안 0.1 T만큼 일정하게 증가한다고 합시다. 선속의 증가량은 0.1 × 0.001 = 0.0001 Wb입니다.
• 0.0001 Wb를 0.1초로 나누면 변화율은 초당 0.001 Wb입니다. 여기에 감은 횟수 100을 곱하면 전압의 크기는 0.1 V가 됩니다.
• 같은 자기장 변화가 0.05초 만에 일어나면 변화율이 두 배가 되어 전압은 0.2 V가 됩니다. ‘같은 변화라도 더 빨리 일어나면 더 큰 전압이 생긴다’는 뜻입니다. 여기서는 크기를 계산했으며 방향은 다음 렌츠 법칙에서 살펴봅니다.

영상에서는 5번의 “자기장이 변하면 둘레에 전기장이 생긴다”는 설명과 6번 ‘서로를 만드는 전기와 자기’에 연결됩니다. 영상에 코일의 숫자 계산이 나오는 것은 아닙니다. 코일은 유도를 쉽게 계산해 보기 위해 이 글에서 추가한 예시입니다.

마이너스 부호와 에너지 보존

닫힌 코일에 유도전류가 흐르면, 그 전류가 만드는 자기장은 원래 자기선속의 ‘변화’를 방해하는 쪽입니다. 증가를 방해하기도 하고 감소를 보완하기도 하므로, 자기장 자체와 언제나 반대인 것은 아닙니다. 자석을 밀어 넣는 데 필요한 일이 전기 에너지와 열로 바뀝니다. 에너지 보존은 이 부호를 이해하게 해 주지만, 패러데이 법칙 전체를 그것만으로 증명하는 것은 아닙니다. 이 법칙은 실험으로 확립된 관계입니다. [5]

코일 밖에서도 성립한다

고정된 닫힌 경로에 대해 ℰ는 그 경로를 따라 전기장의 접선 성분을 한 바퀴 합한 값입니다. 전선이 없어도 변하는 자기장은 주변에 소용돌이 형태의 전기장을 유도할 수 있습니다. 코일은 그 효과를 측정하고 이용하는 도구입니다. 발전기·변압기·유도식 무선충전의 바탕이지만, 가까운 코일 사이의 유도식 전력 전달과 멀리 방사되는 전파를 같은 전달 방식으로 혼동하면 안 됩니다. [7]

누구의 어떤 원리인가요?

제임스 클러크 맥스웰이 전기와 자기의 관계에 더한 ‘변위전류’라는 개념입니다. 쉽게 말하면, 전자의 흐름뿐 아니라, 전기장의 변화도 자기장을 만드는 데 기여한다는 뜻입니다. 맥스웰은 1861–1862년 연구에서 이 개념을 도입했습니다. [7][8]

무선통신에서는 이렇게 쓰입니다

공유기 안테나의 전자가 스마트폰까지 날아가지 않아도 와이파이 신호는 전달됩니다. 맥스웰의 보완은 전선이 없는 공간에서도 전기장과 자기장의 변화가 이어지는 파동을 설명할 수 있게 해 줍니다. 이 관계는 오늘날 송신 안테나가 어떤 전파를 내보낼지 계산하는 기본 이론의 일부입니다. ‘전자가 없는 공간을 어떻게 건너갈까?’라는 영상의 질문과 연결됩니다. [1][7]

자세히 보면: 축전기의 빈틈

이 생각이 왜 필요했는지 알아보려면, 전하를 저장하는 부품인 축전기를 보면 됩니다.

축전기를 충전할 때 연결 도선에는 전류가 흐르지만, 진공으로 떨어진 두 판 사이를 전자가 그대로 건너가지는 않습니다. 기존 앙페르 법칙에 도선의 전류만 넣으면, 같은 닫힌 경로에 대해 어떤 면을 택하느냐에 따라 자기장 계산이 달라지는 모순이 생깁니다. 맥스웰은 변하는 전기장의 기여를 더해 이를 해소했습니다. [7]

이제 확인할 것은 ‘도선에서 흘러 들어온 전류와, 판 사이 전기장의 변화가 같은 계산 결과로 이어질까?’입니다. 두 판이 평행하고 틈이 진공인 축전기에서, 가장자리의 복잡한 장은 무시합니다.

기호부터 읽어 볼까요?

• Q(큐): 한쪽 판에 쌓인 전하량입니다. 단위 C(쿨롱)를 씁니다.
• A(에이): 판 한쪽의 면적입니다. 단위 m²(제곱미터)이며, 전류 단위 A(암페어)와는 다른 용도입니다.
• E(이): 판 사이 전기장입니다. 단위 V/m(미터당 볼트)는 단위 거리당 전압 차이에 대응하는 전기장의 세기를 나타냅니다.
• ε₀(엡실론 제로): 진공의 전하와 전기장 관계를 정하는 물리 상수입니다. 아래의 0은 진공에서의 값이라는 표시입니다.
• ΦE(파이 이): 판 사이의 전기선속입니다. 이 예에서는 전기장에 판의 면적을 곱한 양입니다. 뒤의 E는 ‘전기’ 선속을 구별하는 이름표이며 별도로 E를 곱하라는 뜻이 아닙니다.
• I(아이): 연결 도선에 흐르는 전류입니다. Id(아이 디): 변위전류입니다. 여기서 이름표 d는 변위전류를 구별하며, 미분 기호 d와는 다릅니다. 둘 다 단위 A(암페어)를 씁니다.
• t는 시간입니다. dΦE/dt는 전기선속이 시간에 따라 변하는 속도, dQ/dt는 판의 전하량이 시간에 따라 늘거나 줄어드는 속도입니다. 일정하게 변할 때는 각각 ‘변화량 ÷ 걸린 시간’으로 읽으면 됩니다.
• ×와 붙여 쓰기는 곱하기, /는 나누기, =는 같다는 뜻입니다. 괄호는 먼저 하나로 묶어 계산할 부분입니다.

관계를 식으로E = Q/(ε₀A), ΦE = E × A = Q/ε₀

말로 풀면 같은 판에 전하가 더 많이 쌓이면 판 사이 전기장도 커집니다. 그 전기장에 판의 면적을 곱해 전기선속을 구하면, 면적 A가 나누기와 곱하기에서 상쇄돼 Q/ε₀만 남습니다. 쉼표는 두 계산 관계를 구분한 것입니다.

관계를 식으로Id = ε₀ × dΦE/dt = dQ/dt = I

말로 풀면 전기선속의 변화율에 ε₀를 곱해 구한 변위전류가, 판에 전하가 쌓이는 속도와 같고, 결국 연결 도선의 전류와도 같아집니다. 위 식의 Q/ε₀를 넣으면 나누었던 ε₀가 다시 곱해져 없어지는 것입니다.

숫자를 넣어 보면 0.01초 동안 판에 10 μC의 전하가 일정하게 더 쌓인다고 합시다. μC(마이크로쿨롱)는 100만 분의 1 C이므로, 10 μC는 0.00001 C입니다. 이를 0.01초로 나누면 0.001 A, 즉 1 mA(밀리암페어)가 됩니다. 도선 전류도 1 mA이고, 판 사이 전기장 변화로 계산한 변위전류도 1 mA입니다. 하지만 진공 틈을 실제 전자가 건너간다는 뜻은 아닙니다. [7]

영상에서는 5번에서 “전류가 없어도, 전기장이 변하기만 하면 둘레에 자기장이 생긴다”고 설명하는 부분입니다. 축전기는 영상에 등장하는 장치가 아니라, ‘전자의 흐름이 없는 틈에서도 전기장의 변화가 자기장 식에 들어간다’는 점을 풀어 보기 위한 예입니다.

1864년이라는 날짜의 의미

변위전류는 맥스웰의 1861–1862년 연구에서 도입됐고, 통합 전자기장 이론 논문은 1864년 왕립학회에서 발표된 뒤 1865년에 출판됐습니다. 영상의 ‘1864년 맥스웰의 답’은 이 통합 이론의 발표를 가리키는 간추린 표현입니다. 오늘 쓰는 벡터 기호의 식을 그때 그대로 발표했다는 뜻도 아닙니다. [8]

이 보완의 파급효과는 축전기 설명에 머물지 않았습니다. 전도전류가 없는 공간에서도 전기장과 자기장의 변화가 연결될 수 있게 됐고, 두 관계를 함께 풀면 전자기파가 나온다는 것이 다음 단계입니다.

누구의 어떤 원리인가요?

맥스웰의 전자기 이론에서 나온 ‘빛도 전자기파’라는 설명입니다. 전기장과 자기장의 관계를 함께 풀어 보니, 그 변화가 빛의 속도로 퍼지는 파동이 될 수 있었습니다. 이후 헤르츠는 1880년대 실험으로 보이지 않는 전자기파를 발생시키고 검출했습니다. [1][8][9]

무선통신에서는 이렇게 쓰입니다

공유기에서 스마트폰까지 신호가 건너오는 데 걸리는 시간과, 주파수에 따른 파장을 계산할 때 이 관계가 기준이 됩니다. 예를 들어 2.4 GHz 와이파이 전파의 자유공간 파장은 약 12.5 cm입니다. 안테나의 길이와 배치를 설계할 때 참고하는 크기입니다. 전파가 빨리 도착한다는 것과 사진 한 장의 다운로드가 빠르다는 것은 별개입니다. 후자는 보낼 수 있는 정보량과 통신 상태에도 달려 있습니다. [1][3]

자세히 보면: 빛의 속도가 나오는 과정

이 부분의 질문은 ‘전기장과 자기장의 관계를 계산했는데, 왜 빛의 속도가 나올까?’입니다. 모든 미분 계산을 따라가지 않아도, ‘두 장의 관계 → 파동의 식 → 전파 속도’라는 흐름만 읽으시면 됩니다. [1][7]

기호부터 읽어 볼까요?

• E(이), B(비): 각각 전기장과 자기장의 성분입니다. 이 예에서는 전기장을 y방향, 자기장을 z방향으로 놓습니다. 장의 방향까지 표현하므로 성분값은 양수나 음수가 될 수 있습니다.
• x, y, z: 서로 직각인 세 공간 방향의 이름입니다. 파동은 x방향으로 진행한다고 둡니다. t는 시간입니다.
• ∂(편미분 기호): 위치와 시간 중 하나는 고정하고 다른 하나에 따른 변화율을 본다는 표시입니다. ∂E/∂x는 ‘같은 순간, 위치를 옮길 때 전기장이 얼마나 달라지는가’, ∂B/∂t는 ‘같은 자리, 시간이 흐를 때 자기장이 얼마나 달라지는가’입니다. ∂B/∂x와 ∂E/∂t도 같은 방식으로 읽습니다.
• μ₀(뮤 제로), ε₀(엡실론 제로): 각각 진공의 자기적·전기적 관계를 정하는 물리 상수입니다. 아래의 0은 진공의 값이라는 표시입니다. μ₀ε₀는 두 상수를 곱하라는 뜻입니다.
• −는 여기서 정한 공간 방향에 따른 부호입니다. 에너지가 사라진다거나 두 장이 언제나 반대라는 뜻은 아닙니다. =는 양쪽 관계가 같다는 뜻이고 ×는 곱하기입니다.

전하와 전류가 없는 진공에서 장이 x방향으로만 변하는 간단한 경우, 두 법칙은 아래처럼 연결됩니다.

관계를 식으로∂E/∂x = −∂B/∂t

말로 풀면 한 자리에서 자기장이 시간에 따라 변하는 정도와, 같은 순간 이웃 위치 사이에서 전기장이 달라지는 정도가 연결돼 있습니다. 가령 이 조건에서 자기장의 시간 변화율 크기가 두 배라면, 대응하는 전기장의 공간 변화율 크기도 두 배여야 합니다. ‘전기장 값 자체가 두 배’라는 말과는 다릅니다.

관계를 식으로∂B/∂x = −μ₀ε₀ × ∂E/∂t

말로 풀면 이번에는 한 자리의 전기장 변화와 이웃 위치 사이의 자기장 변화가 연결됩니다. μ₀와 ε₀는 두 변화율을 연결하는 환산 계수처럼 들어갑니다. 두 식을 함께 만족해야 하므로 전기장과 자기장은 각각 제멋대로 변할 수 없습니다.

다음 기호를 하나만 더 읽겠습니다. ∂²E/∂x²는 위치에 따른 변화율을 한 번 더 살핀 것, ∂²E/∂t²는 시간에 따른 변화율을 한 번 더 살핀 것입니다. 앞의 ²는 ‘두 번 미분한다’는 표시이며 전기장 E를 제곱한다는 뜻이 아닙니다. 처음 식을 위치에 대해 한 번 더 미분한 뒤 두 번째 식을 넣으면, 자기장 B를 식에서 없앨 수 있습니다.

관계를 식으로∂²E/∂x² = μ₀ε₀ × ∂²E/∂t²

말로 풀면 파형이 공간에서 휘어진 모양과 시간에 따라 변하는 양상이 일정한 관계로 묶입니다. 이것이 파동방정식입니다. 자기장을 식에서 없앴다고 실제 자기장이 사라진 것은 아닙니다.

일반적인 파동의 식에서는 위 자리의 계수가 1/v²입니다. v(브이)는 파동의 속도이고, v²는 속도를 자기 자신과 곱한 값입니다. 즉 1/v²는 그 제곱의 역수입니다. 여기서는 그 자리에 μ₀ε₀가 있으므로, 두 값을 같게 놓고 속도를 구할 수 있습니다.

마지막 식의 기호도 먼저 읽어 봅시다. √는 제곱근으로, ‘자기 자신과 곱하면 안쪽 값이 되는 양수’를 뜻합니다. c(씨)는 진공의 빛의 속도, ≈는 ‘대략 같다’는 뜻입니다. 10⁸은 1 뒤에 0이 여덟 개인 1억이며, m/s는 초당 미터입니다.

관계를 식으로v = 1/√(μ₀ε₀) = c ≈ 3 × 10⁸ m/s

말로 풀면 전기와 자기의 관계에서 계산한 파동 속도가 초당 약 3억 미터로, 진공의 빛의 속도와 같습니다. 이것이 빛을 전자기파로 이해하게 된 핵심 연결입니다. 맥스웰 방정식에서 나오는 수학적 결론이지, 방정식의 실험적 타당성까지 수학만으로 증명했다는 뜻은 아닙니다. [1]

숫자를 넣어 보면 자유공간에서 10 m를 가는 시간은 ‘거리 ÷ 속도’이므로 10 ÷ 300,000,000초, 약 0.000000033초입니다. 이를 약 33 ns(나노초)라고 부릅니다. 1 ns는 10억 분의 1초입니다. 이 값은 전파가 공간을 건너가는 시간일 뿐, 공유기의 처리나 전송 대기 시간까지 포함한 인터넷 지연은 아닙니다.

영상에서는 4번 ‘전파의 탄생’의 “변화는 한순간에 퍼지지 않는다”는 부분과, 6번에서 전기장·자기장의 무늬가 빛의 속도로 나아가는 부분입니다. 미분 식과 10 m 계산은 영상의 설명을 글에서 풀어 쓴 것입니다.

같은 속도라면, 주파수가 높을수록 왜 파장이 짧을까요?

기호부터 읽어 볼까요? λ(람다)는 파장, 즉 같은 순간 이웃한 마루 사이의 거리입니다. f(에프)는 주파수로, 1초 동안 진동하는 횟수입니다. 단위 Hz(헤르츠)를 쓰며 1 Hz는 초당 한 번입니다. c는 앞서 본 진공의 빛의 속도이고, /는 나누기입니다.

관계를 식으로λ = c / f

말로 풀면 1초 동안 나아가는 전체 거리를 그동안 만들어지는 파동의 반복 횟수로 나누면, 한 번의 반복이 차지하는 길이인 파장이 나옵니다. 같은 진공에서 주파수가 두 배면 파장은 절반입니다.

숫자를 넣어 보면 2.4 GHz는 초당 24억 번입니다. GHz(기가헤르츠)는 10억 Hz이므로, 300,000,000 m/s를 2,400,000,000 Hz로 나누면 0.125 m, 즉 12.5 cm입니다. 4.8 GHz로 두 배가 되면 파장은 6.25 cm가 됩니다. 특정 안테나의 실제 길이가 항상 이 파장과 같다는 뜻은 아닙니다.

영상에서는 4번에서 마루와 마루 사이를 ‘한 파장’이라고 부르는 장면과, 8번 ‘1초에 24억 번’을 함께 떠올리시면 됩니다. 둘을 연결하는 식이 바로 이 식입니다.

헤르츠는 무엇을 확인했나

하인리히 헤르츠는 1886년부터 이어진 실험에서 전자기파를 발생·검출하고, 1887–1888년에 반사와 간섭 등 파동의 성질을 조사했습니다. 1888년에는 전자기파와 빛의 관계에 관한 결과를 발표했습니다. 이로써 이론이 예측한 보이지 않는 파동을 실험으로 확인하는 길이 열렸습니다. 주파수 단위 Hz는 그의 이름을 딴 것입니다. [7][9]

영상의 전기장·자기장 사슬은 설명 순서를 나눈 그림입니다. 한 방향으로 진행하는 진공의 평면파에서는 두 장이 같은 위치·같은 시각에 함께 커지고 작아집니다. 물질 속이나 안테나 바로 곁까지 이 단순한 관계를 그대로 적용하지는 않습니다.

누구의 어떤 원리인가요?

존 헨리 포인팅이 1884년에 정리한 ‘전자기 에너지가 어디로, 얼마나 흐르는가’에 관한 원리입니다. 전파는 정보만 표현하는 것이 아니라 에너지도 전달합니다. 포인팅의 설명은 그 에너지 흐름을 계산하는 방법을 제공합니다. [10]

무선통신에서는 이렇게 쓰입니다

공유기에서 멀어질수록 신호가 약해질 수 있는 이유를 이해하는 데 쓰입니다. 같은 송신 에너지가 더 넓은 공간에 퍼지면, 수신 안테나가 받아들일 수 있는 몫이 줄어들기 때문입니다. 안테나가 어느 방향으로 에너지를 많이 보내는지, 수신 위치에 얼마나 도달하는지 계산할 때도 이 관점을 사용합니다. 실제 방 안에서는 벽과 반사의 영향도 함께 따져야 합니다. [10]

자세히 보면: 에너지 흐름을 나타내는 식

이 식은 ‘전파의 에너지가 어느 방향으로, 단위 면적을 통해 얼마나 흐르는가’를 나타냅니다. [10]

기호부터 읽어 볼까요?

• S(에스): 에너지 흐름의 방향과 세기를 함께 나타내는 포인팅 벡터입니다. 크기의 단위 W/m²(제곱미터당 와트)는 면적 1 m²를 통과하는 전력을 뜻합니다.
• E(이), B(비): 각각 방향을 포함한 전기장과 자기장, 즉 벡터입니다. 이 식에서는 단순한 크기만을 뜻하지 않습니다.
• μ₀(뮤 제로): 진공의 자기적 관계를 정하는 상수입니다. 아래의 0은 진공의 값이라는 표시입니다.
• ×는 이 식에 한해서 두 벡터의 ‘벡터곱’입니다. 보통의 숫자 곱하기와 달리 두 장의 크기와 서로 이루는 각도를 반영하고 방향도 정합니다. /는 나누기, =는 같다는 뜻입니다.

관계를 식으로S = (E × B) / μ₀

말로 풀면 전기장과 자기장을 함께 살피면 에너지가 흐르는 방향과 세기를 구할 수 있다는 뜻입니다. 진공에서 한 방향으로 나아가는 평면파라면 두 장은 서로 직각이고, 벡터곱의 방향은 파동의 진행 방향입니다.

숫자를 넣어 보면 같은 형태의 진행 평면파에서 전기장 진폭이 두 배가 되면 자기장 진폭도 두 배가 됩니다. 따라서 곱은 2 × 2로 네 배가 되어, 평균 전력 밀도가 원래 1 W/m²였다면 4 W/m²가 됩니다. 같은 면적을 통과하는 평균 전력이 네 배라는 뜻이지, 주파수가 네 배라는 뜻은 아닙니다.

영상에서는 13번 ‘세기 바꾸기’에서 작은 파형과 큰 파형, 옅은 고리와 진한 고리를 대비하는 부분입니다. 그림의 진하기가 전력계를 그대로 재현하는 것은 아니며, 여기서는 ‘파형의 크기를 바꾸면 전달 에너지도 달라진다’는 연결을 설명합니다.

거리의 제곱으로 나누는 이유

이번에는 ‘송신원에서 멀어지면 같은 에너지가 얼마나 넓게 나뉠까?’를 계산합니다. 모든 방향으로 고르게 방사하고, 중간의 흡수·반사를 무시할 수 있는 원거리 자유공간이 기준입니다.

기호부터 읽어 볼까요? P(피)는 송신원이 모든 방향으로 내보내는 총 평균 전력이며 단위 W(와트)를 씁니다. r(알)은 송신원까지의 거리, 단위는 m입니다. π(파이)는 약 3.14인 원주율입니다. r²는 r을 두 번 곱한 값이고, 4πr²는 그 거리에 있는 구의 겉넓이입니다. 기호를 붙여 쓴 것은 곱하기, /는 나누기입니다.

관계를 식으로평균 전력 밀도 = P / (4πr²)

말로 풀면 총 전력을 그 전력이 퍼진 구의 면적으로 나누는 것입니다. 거리가 두 배가 되면 구의 면적은 네 배가 되므로, 같은 크기의 면적에 배분되는 전력은 4분의 1이 됩니다. 에너지가 갑자기 사라지는 것이 아닙니다. [10]

숫자를 넣어 보면 이상적인 송신원이 총 1 W를 고르게 내보낼 때, 10 m 거리의 평균 전력 밀도는 약 1 ÷ 1,256 = 0.000796 W/m²입니다. 20 m에서는 약 0.000199 W/m²로 줄어듭니다. 안테나가 이 전력을 전부 받는 것은 아닙니다. 실제 수신 전력에는 안테나의 특성과 방향도 영향을 줍니다. 실제 공유기 주변에서는 벽·반사·흡수도 고려해야 하므로, 이 숫자를 집 안의 와이파이 세기로 그대로 읽으면 안 됩니다.

영상에서는 4번과 6번에서 무늬가 안테나로부터 멀어지는 모습을 떠올리시면 됩니다. 거리에 따른 전력 계산 자체는 영상에 없으며, 퍼져 나가는 에너지를 이해하도록 글에서 추가했습니다.

‘빠르면 떨어져 나간다’는 그림의 한계

안테나 근처에는 에너지를 저장했다가 돌려주는 성분과 멀리 방사되는 성분이 함께 있습니다. 영상은 이를 느린 흔들림과 빠른 흔들림으로 대비합니다. 하지만 특정 속도를 넘으면 장이 끊어지는 문턱이 있는 것은 아닙니다. 주파수뿐 아니라 안테나 길이와 파장의 비, 전류 분포, 정합과 손실이 방사 효율을 좌우합니다. 낮은 주파수에서도 적절한 구조와 크기를 쓰면 통신할 수 있습니다. [1][3]

누구의 어떤 방법인가요?

조제프 푸리에의 연구에서 발전한 ‘복잡한 변화를 여러 주파수 성분으로 나누어 보는 방법’입니다. 푸리에는 1822년 열의 흐름을 다루는 책에서 이 방법의 토대를 전개했습니다. 오늘날의 푸리에 해석은 전파를 만드는 기술 자체가 아니라, 신호 안에 어떤 주파수들이 섞여 있는지 살펴보는 수학적 도구입니다. [11]

무선통신에서는 이렇게 쓰입니다

영상에서는 주파수를 ‘차선’에 비유했습니다. 실제로는 데이터를 실은 신호가 한 주파수에만 머물지 않고 주변에도 퍼집니다. 무선 송신기를 설계할 때 푸리에 해석으로 그 폭을 살펴보고, 옆 채널을 덜 방해하도록 신호 모양과 필터를 정합니다. ‘우리 신호가 옆 차선까지 얼마나 차지하는가’를 확인하는 셈입니다. [12]

자세히 보면: 변조가 주파수 폭을 만드는 이유

이 식으로 설명하려는 것은 ‘한 주파수의 반송파에 정보를 실었는데, 왜 주변 주파수에도 신호가 생길까?’입니다. 규칙적인 파형 둘을 곱하면 두 주파수의 합과 차에 해당하는 파형으로 나누어 볼 수 있습니다. [3][12]

기호부터 읽어 볼까요?

• cos(코사인): 규칙적으로 오르내리는 파형을 나타내는 함수입니다. 괄호 안의 값은 파형이 한 주기의 어느 위치에 와 있는지 나타내는 위상입니다.
• a(에이), b(비): 여기서는 각각 반송파와 정보를 나타내는 규칙적인 파형의 위상입니다. 진폭이나 주파수 자체가 아닙니다.
• fc(에프 씨), fm(에프 엠): 각각 반송파와 정보 파형의 주파수입니다. c와 m은 두 주파수를 구별하는 이름표입니다.
• 위상은 시간에 따라 변합니다. 시작 위상을 0으로 두면 a = 2πfc t, b = 2πfm t입니다. t는 시간, π는 원주율이고, 2π는 한 바퀴에 해당하는 위상입니다. 붙여 쓰기는 곱하기입니다. 주파수가 높으면 같은 시간 동안 위상이 더 많이 진행합니다.
• cos(a)cos(b)는 두 파형 값을 곱하라는 뜻입니다. +와 −는 더하기와 빼기, /2는 2로 나누기입니다. 중괄호 { }는 안의 두 항을 먼저 더하라는 표시이며, =는 양쪽이 같은 값을 나타낸다는 뜻입니다.

관계를 식으로cos(a)cos(b) = {cos(a+b) + cos(a−b)}/2

말로 풀면 두 파형을 곱한 결과를 ‘두 위상을 더한 파형’과 ‘두 위상을 뺀 파형’의 합으로 다시 쓴 것입니다. 위상의 진행 속도가 주파수와 연결되므로, 주파수도 fc+fm과 fc−fm으로 나타납니다. 원래 신호를 바꾸거나 새로운 에너지를 만들어 낸 것이 아니라 같은 신호를 다르게 바라보는 표현입니다.

숫자를 넣어 보면 반송파가 100 MHz이고 정보 파형이 1 kHz라면, 두 주파수의 합과 차는 100.001 MHz와 99.999 MHz입니다. MHz(메가헤르츠)는 100만 Hz, kHz(킬로헤르츠)는 1,000 Hz이고, Hz는 초당 진동 횟수입니다. 두 성분의 간격은 2 kHz입니다. 이렇게 반송파 양옆에 나타나는 성분을 측파대라고 합니다. 이 예는 한 가지 규칙적인 정보 파형을 곱한 경우이며, 복잡한 실제 데이터의 점유 대역폭을 항상 2 kHz로 볼 수는 없습니다.

반송파를 함께 남기는 일반적인 진폭 변조에서는 가운데 100 MHz 성분도 남습니다. 위 곱셈 공식은 그중 두 측파대가 왜 생기는지를 설명하는 부분입니다.

영상에서는 12번 ‘주파수 차선’과 13번 ‘세기 바꾸기’를 연결하는 설명입니다. 차선을 나눈다고 했지만, 실제로 데이터를 실은 신호에는 폭이 생깁니다. 그래서 중심 주파수만 다르다고 간섭이 무조건 없어지지는 않으며, 신호가 차지하는 폭과 수신 필터까지 함께 설계해야 합니다. 영상의 이진 데이터 대신, 계산하기 쉬운 규칙적인 파형 하나를 예로 든 것입니다.

타이밍을 뚝 바꾸지 않는 이유

신호를 갑자기 끊거나 불연속적으로 바꾸면 넓은 주파수 성분이 필요합니다. 실제 송신기는 펄스 성형 필터로 전이 모양을 설계해 불필요한 대역 밖 성분을 줄입니다. 다만 변화만 무작정 느리게 하면 되는 것은 아닙니다. 대역폭을 제한하면서 수신 시 심벌들이 서로 혼동되지 않도록 함께 설계해야 합니다. 영상에서 ‘부드럽게 돌아간다’고 설명한 이유가 여기에 있습니다. [12]

누구의 어떤 이론인가요?

클로드 섀넌이 1948년에 발표한 ‘정보이론’입니다. 쉽게 말해, 잡음이 섞인 통신 환경에서 정보를 얼마나 빠르고 정확하게 보낼 수 있는지 한계를 밝힌 이론입니다. 신호의 모양을 정하는 특정 기술이 아니라, 통신 기술의 성능을 판단하는 기준입니다. [13]

무선통신에서는 이렇게 쓰입니다

영상의 QAM처럼 신호의 상태를 더 촘촘히 나누면 한 번에 더 많은 비트를 표현할 수 있습니다. 하지만 잡음 때문에 그 상태들을 구별하지 못하면 오류가 늘어납니다. 실제 무선통신은 수신 상태가 좋을 때 더 많은 상태를 쓰고, 나쁠 때는 더 구별하기 쉬운 방식으로 바꾸곤 합니다. 섀넌의 이론은 이런 설계로 도달할 수 있는 속도에 왜 한계가 있는지 설명합니다. [12][13]

자세히 보면: 한 번에 담는 비트 수

섀넌이 QAM을 혼자 발명했다는 뜻은 아닙니다. 여러 변조·부호화 방식을 평가할 공통의 이론적 기준을 세운 것입니다.

여기서는 ‘신호가 취할 수 있는 자리가 많아지면, 한 번에 몇 비트를 표현할 수 있을까?’를 셉니다. 한 번 선택해서 보내는 신호 상태를 심벌이라고 부릅니다. [12]

기호부터 읽어 볼까요? M(엠)은 서로 구별할 수 있는 신호 상태의 개수입니다. log₂(로그 밑 2)는 ‘2를 몇 번 곱해야 그 수가 되는가’를 묻는 계산입니다. 아래의 2는 두 가지 값인 0과 1을 기준으로 센다는 뜻입니다. 비트는 그 0 또는 1 한 자리를 말합니다. M이 2의 거듭제곱이고 각 상태에 같은 길이의 비트열을 붙일 때 다음 관계가 성립합니다.

관계를 식으로심벌 하나의 비트 수 = log₂M

말로 풀면 비트가 하나 늘 때마다 표현할 수 있는 조합은 두 배가 됩니다. 따라서 상태가 16개면 4비트로 이름을 붙일 수 있습니다. 2를 네 번 곱한 2 × 2 × 2 × 2가 16이기 때문입니다. 16-QAM의 ‘16’은 이렇게 고를 수 있는 신호 상태가 16개라는 뜻입니다.

숫자를 넣어 보면 16-QAM은 심벌당 4비트, 64-QAM은 심벌당 6비트입니다. 16-QAM으로 초당 100만 심벌을 보내면 ‘4비트 × 100만 번’이므로 초당 400만 비트, 즉 4 Mbit/s입니다. Mbit/s는 초당 100만 비트 단위이며, 사진 파일 크기에 쓰는 바이트와는 다릅니다. 이 숫자는 오류정정·제어 정보 등을 포함하기 전의 단순한 비트 수 계산이지 실제 다운로드 속도의 보장이 아닙니다.

영상에서는 21번 ‘세기 × 타이밍’에서 점을 두 개, 네 개, 여덟 개로 늘리다가 성상도로 확장하는 부분입니다. 점 두 개는 1비트, 네 개는 2비트, 여덟 개는 3비트를 표현합니다. ‘점이 늘수록 한 번에 더 많은 데이터’라는 말의 수학적 뜻입니다. 반송파의 진동 횟수와 심벌을 바꾸는 횟수는 서로 다릅니다.

잡음이 있는 통신로의 상한

여기서는 ‘점만 계속 늘리면 끝없이 빨라질까?’라는 질문으로 넘어갑니다. 일정한 대역폭 안에서, 신호에 독립적인 가산 백색 가우스 잡음이 더해지는 이상적인 통신로가 기준입니다. 쉽게 말해 잡음이 신호와 더해지고, 관심 대역에서 고르게 퍼지며, 그 순간값은 종 모양의 확률 분포를 따르는 모형입니다. 모든 실제 무선 환경을 그대로 재현한 것은 아닙니다. [13]

기호부터 읽어 볼까요?

• C(씨): 통신로의 이론적 용량, 즉 신뢰성 있게 보낼 수 있는 정보 속도의 상한입니다. 단위 bit/s는 초당 비트입니다. 여기서 C는 앞 절의 전하 단위 쿨롱이 아니라 용량을 나타내는 변수입니다.
• W(더블유): 사용 가능한 대역폭입니다. 주파수 범위의 폭을 Hz(헤르츠)로 나타냅니다. 여기서 변수 W는 전력 단위인 와트와 다릅니다.
• S(에스): 수신한 신호의 평균 전력, N(엔): 같은 대역에 들어온 잡음의 평균 전력입니다. 이 절의 S는 앞서 나온 에너지 흐름 벡터가 아니고, N도 코일을 감은 횟수가 아닙니다.
• S/N: 신호 전력을 잡음 전력으로 나눈 비율입니다. 두 전력은 같은 단위로 넣습니다. S/N이 15라면 신호 전력이 잡음 전력의 15배라는 뜻이지, 15 dB라는 뜻은 아닙니다. dB(데시벨)는 비율을 로그로 바꿔 표시하는 다른 방식입니다.
• log₂는 앞서 본 ‘2를 몇 번 곱해야 안쪽 수가 되는가’라는 계산입니다. 1+S/N은 신호와 잡음을 합친 평균 전력을 잡음 전력으로 나눈 비율에 해당합니다. 괄호 안을 먼저 계산합니다. ×는 곱하기, +는 더하기, =는 같다는 뜻입니다. 끝의 [bit/s]는 계산 결과의 단위입니다.

관계를 식으로C = W × log₂(1 + S/N) [bit/s]

말로 풀면 쓸 수 있는 주파수 폭이 넓고 신호가 잡음에 비해 잘 구별될수록, 신뢰성 있게 보낼 수 있는 정보량의 한계가 높아집니다. 다만 신호 전력만 두 배로 키운다고 용량도 곧바로 두 배가 되는 것은 아닙니다. 신호와 잡음의 비율은 로그 계산 안에 있기 때문입니다.

숫자를 넣어 보면

• 대역폭이 1 MHz, 즉 1,000,000 Hz이고 신호 전력이 잡음 전력의 15배라고 합시다.
• 괄호 안은 1 + 15 = 16입니다. 2를 네 번 곱하면 16이므로 log₂16은 4입니다.
• 1,000,000에 4를 곱하면 초당 4,000,000비트, 즉 4 Mbit/s가 이 모형의 용량입니다.
• 같은 대역폭에서 신호 대 잡음 비율이 3으로 떨어지면 괄호 안은 4, 로그 값은 2가 되어 용량은 2 Mbit/s입니다. 같은 폭의 통신로라도 잡음 속에서 신호를 얼마나 구별할 수 있느냐가 중요하다는 뜻입니다.

앞의 ‘16-QAM을 초당 100만 심벌 보내면 4 Mbit/s’와 숫자가 같아도 다른 계산입니다. 앞의 식은 상태에 붙일 수 있는 비트 수를 센 것이고, 여기서는 잡음 속에서 신뢰성을 확보할 수 있는 한계를 구합니다. 단순히 16-QAM을 선택하면 이 이론적 한계에 도달한다는 뜻은 아닙니다. 충분히 긴 적절한 부호화 등을 가정한 이론이며, 실제 속도에는 지연·간섭·채널 변화·제어 정보 등도 영향을 줍니다.

영상에서는 21번 마지막의 “점을 촘촘히 찍을수록 한 번에 더 많은 데이터를 실을 수 있지만, 잡음에 약하다”는 설명입니다. 섀넌의 식 자체는 영상에 나오지 않습니다. 그 말 뒤에 있는 정보량의 한계를 글에서 보충한 것입니다.

• [1] OpenStax, 16.2 Plane Electromagnetic Waves: 가속 전하·안테나, 진공 파동방정식, 장의 방향과 위상.

• [2] NASA, Introduction to the Electromagnetic Spectrum: 전파와 빛의 분류.

• [3] OpenStax, 16.5 The Electromagnetic Spectrum: 전파의 범위, 진폭·주파수·위상 변조, 저주파 통신.

• [4] Britannica, Faraday’s discovery of electric induction: 패러데이의 1831년 발견과 1832년 출판, 헨리의 독립적 연구. 식과 실험 관계는 OpenStax, Faraday’s Law of Induction 참조.

• [5] OpenStax, 13.2 Lenz’s Law: 선속 변화·방향·에너지 보존. 1834년 원 논문은 프랑스국립도서관 Gallica 소장본 참조.

• [6] APS, July 1820: Oersted & Electromagnetism: 외르스테드의 관찰·발표와 앙페르 연구의 출발.

• [7] OpenStax, 16.1 Maxwell’s Equations and Electromagnetic Waves: 앙페르 법칙, 축전기의 변위전류 유도, 장의 관계와 헤르츠 실험.

• [8] Royal Society, Maxwell 논문 기록: 1864년 학회 발표·1865년 출판. 1861–1862년 연구와 역사적 맥락은 Royal Society 150주년 해설 참조.

• [9] Karlsruhe Institute of Technology, Heinrich Hertz: 1886년 관찰부터 1888년 발표까지의 실험 경과.

• [10] Poynting, On the transfer of energy in the electromagnetic field, 1884: 에너지 흐름 정식화. 진폭·에너지·거리 관계는 OpenStax, 16.3 Energy Carried by Electromagnetic Waves 참조.

• [11] Ursinus College, Fourier’s Heat Equation and the Birth of Fourier Series: 1822년 저작과 사인·코사인 급수의 역사. PDF 자료.

• [12] Analog Devices, AN-922: Digital Pulse-Shaping Filter Basics: 대역폭 제한, 펄스 성형, QAM 심벌과 비트 수. 측파대와 변조 개념은 Keysight, Digital Modulation in Communications Systems도 참조.

• [13] Shannon, A Mathematical Theory of Communication, 1948: 7월 논문 · 10월 논문. 정보량·채널 용량·가우스 잡음 통신로를 다룬 원 논문의 공식 출판 링크.

자료 확인 및 글 보강: 2026-09-27. 인용 자료의 그림을 전재하지 않았으며, 수식 예제와 설명은 이 글의 범위에 맞춰 작성했습니다.