여러 신호를 한꺼번에 보내고, 다시 나누는 법

합친 신호에서 무엇을 읽을까

줄을 위아래로 흔드는 모습을 떠올려 보세요. 천천히 흔드는 움직임과 빠르게 흔드는 움직임을 더하면, 결과는 더 복잡한 움직임 하나가 됩니다. 그 복잡한 결과를 시간 순서로 그린 것이 시간 파형입니다.

같은 신호를 다른 방식으로 적을 수도 있습니다. ‘어느 주파수의 성분이 얼마나 있는가’를 정리하는 것입니다. 푸리에 분석은 이렇게 신호를 주파수 성분으로 표현하는 방법입니다. 일정한 시간 간격으로 읽은 숫자 묶음을 주파수별 값으로 바꾸는 계산이 이산 푸리에 변환, DFT입니다. [1][2]

이때 크기만이 아니라 위상도 중요합니다. 위상은 같은 주기로 반복되는 움직임이 기준에 비해 어느 위치에 있는지를 말합니다. 같은 크기라도 서로 반대 위치에서 흔들리면, 더한 결과가 달라집니다. 막대의 높이만 보는 것으로는 원래 파형을 모두 설명할 수 없습니다. [1]

흔들림 세 개를 더하면

영상의 세 파형은 같은 순간의 값을 더해 하나의 파형이 됩니다. 위쪽은 양수, 아래쪽은 음수로 표시합니다. 어떤 순간에는 움직임이 서로 보태지고, 다른 순간에는 일부가 상쇄됩니다.

예를 들어 한 순간의 세 값이 0.8, −0.3, 0.2라면 합은 0.7입니다. 하지만 이 숫자 하나만으로 원래의 세 값을 알아낼 수는 없습니다. 성분을 나눠 읽으려면 정해진 구간에 걸친 여러 표본과, 비교할 주파수 기준이 필요합니다.

더 읽기 1 · 한 순간의 덧셈과 한 구간의 분석은 다릅니다

기호부터 읽어 볼까요?

a, b, c는 같은 순간에 각 성분이 기여하는 값이고, x는 그 합입니다. 음수는 ‘음의 세기’가 아니라 기준선 반대 방향의 값입니다.

관계를 식으로x = a + b + c

숫자를 넣어 보면 x = 0.8 + (−0.3) + 0.2 = 0.7입니다. 이 한 순간에는 서로 다른 조합도 똑같이 0.7을 만들 수 있습니다. 그래서 푸리에 분석은 한 점만 보고 원래 성분을 추측하는 방법이 아닙니다.

말로 풀면 약속한 구간 전체의 흔들림을 주파수별 기준과 비교합니다. DFT는 유한한 표본 묶음을 같은 개수의 주파수 계수로 바꾸는 가역적인 표현입니다. 원래 표본을 되살리는 데 필요한 정보는 크기와 위상, 또는 그와 동등한 두 성분에 함께 담겨 있습니다. 실제 측정 과정에서 이미 사라진 정보까지 되찾는다는 뜻은 아닙니다. [1][2]

영상에서는 2번 ‘흔들림 세 개를 더하면’에서 개별 파형과 합성 파형을 함께 볼 수 있습니다.

주파수 자리에 데이터를 놓기

2편에서 데이터는 파형의 크기나 위상 같은 특성으로 표현할 수 있다고 봤습니다. 여러 비트를 묶어 정해진 신호 상태 하나로 표현한 것을 변조 심볼이라고 합니다. 성상도의 점 하나가 그 상태를 나타냅니다.

이번에는 여러 주파수 자리에 이런 심볼을 하나씩 놓습니다. 각 자리의 작은 반송파를 부반송파라고 부릅니다. 각 성분의 크기와 위상을 정한 뒤 이들을 합치면, 여러 심볼을 함께 담은 시간 신호를 만들 수 있습니다. 이것이 OFDM 전송의 핵심 흐름입니다. [3]

그림의 색은 성분을 구별하기 위한 표시입니다. 빨간 전파와 파란 전파가 따로 날아가는 것은 아닙니다. 실제 시스템에는 데이터를 싣는 자리뿐 아니라 수신기가 상태를 알아보는 기준 신호나, 비워 두는 자리도 있습니다. [3]

IFFT로 시간 신호 만들기

주파수별로 준비한 값들을 합쳐 시간 표본으로 바꾸는 방향이 역변환입니다. 이를 빠르게 계산하는 방법을 IFFT라고 부릅니다. ‘주파수별 재료 목록을 시간에 따른 움직임으로 펼친다’고 생각하면 됩니다. [2][3]

IFFT는 숫자를 계산합니다. 계산된 숫자가 그 자체로 곧바로 안테나에서 나가는 전파는 아닙니다. 실제 송신기에는 디지털 값을 아날로그 신호로 바꾸는 단계, 무선 주파수대로 옮기는 단계, 증폭과 안테나가 이어집니다. 영상은 이 중 신호를 합치는 계산을 확대해 보여 줍니다.

여기서 기억할 것은 긴 장치 이름이 아니라 방향입니다. 주파수별 값 → 합치는 계산 → 시간 신호입니다.

기준과 곱하고 더하기

받는 쪽은 정해진 구간의 신호를 여러 주파수의 기준 파형과 비교합니다. 비교하는 방법은 같은 순간의 값끼리 곱한 뒤, 그 결과를 구간에 걸쳐 더하는 것입니다. [1]

기준과 잘 맞는 성분은 계산 결과에 남습니다. 약속한 직교 조건을 만족하는 다른 성분의 기여는 양수와 음수가 상쇄됩니다. 여기서 ‘직교’는 그림의 두 선이 직각으로 만난다는 뜻이 아니라, 서로 다른 기준끼리 그 구간에서 곱해 더한 값이 0이 되는 수학적 관계를 뜻합니다. [1][2]

기준은 하나만 쓰지 않습니다. 같은 주파수에서 서로 사분의 일 주기 어긋난 두 기준, 사인과 코사인을 함께 사용합니다. 한 기준과의 비교 값이 0이어도 해당 주파수 성분이 없다고 단정할 수 없기 때문입니다. 두 결과를 함께 보면 크기와 위상을 읽을 수 있습니다. [1]

더 읽기 2 · 네 개의 숫자로 곱하기·더하기 해 보기

설명을 위해 잡음이 없고, 구간과 표본 간격이 정확히 맞는 네 표본만 보겠습니다. 받은 값은 차례로 1, 0, −1, 0입니다.

같은 모양의 기준 1, 0, −1, 0과 비교하면 다음과 같습니다.

관계를 식으로비교 합 = 1×1 + 0×0 + (−1)×(−1) + 0×0 = 2

다른 주파수의 기준 1, −1, 1, −1과 비교하면 다음과 같습니다.

관계를 식으로비교 합 = 1×1 + 0×(−1) + (−1)×1 + 0×(−1) = 0

말로 풀면 첫 기준에서는 곱한 결과가 같은 방향으로 모이고, 두 번째 기준에서는 더한 결과가 상쇄됩니다. 여기서 2는 정규화 전의 비교 합이지, 곧바로 원래 진폭이 2라는 뜻은 아닙니다. 실제 변환에서는 정의에 맞는 크기 조정도 함께 다룹니다. [1][2]

왜 두 기준이 필요할까요?

받은 값이 0, 1, 0, −1이라면, 첫 번째 코사인 기준과의 비교 합은 0입니다. 하지만 같은 주파수에서 사분의 일 주기 어긋난 사인 기준 0, 1, 0, −1과 비교하면 합은 2입니다. 성분이 사라진 것이 아니라 위상이 달라진 것입니다.

영상에서는 5번 ‘기준과 곱하고 더하기’에서 곱한 결과의 양수·음수가 쌓이거나 상쇄되는 모습을 볼 수 있습니다. 이 네 숫자는 그 원리를 더 작게 줄인 예시이며 실제 통신의 FFT 크기가 아닙니다.

FFT로 한꺼번에 펼치기

주파수마다 이 비교를 반복해 유한한 표본 묶음을 주파수별 값으로 바꾸는 계산이 DFT입니다. FFT는 DFT를 효율적으로 계산하는 알고리즘입니다. 전혀 다른 원리를 추가하는 변환이 아닙니다. [1][2]

OFDM에서는 보내는 쪽이 IFFT로 여러 주파수 성분을 합치고, 받는 쪽이 FFT로 주파수별 값을 다시 읽습니다. 다만 FFT만 누르면 어떤 무선 환경에서도 원래 비트가 완벽히 나오는 것은 아닙니다. 실제 수신기는 시간·주파수 기준을 맞추는 동기화, 경로의 영향을 추정하고 보정하는 등화, 변조 상태의 판정과 오류 처리도 해야 합니다. 보호 구간도 실제 OFDM을 돕는 요소입니다. [3][4]

이번 편의 핵심을 다시 한 줄로 묶으면 이렇습니다. 푸리에의 기준으로 성분을 표현하고, IFFT로 합치고, FFT로 나눠 읽습니다. 복잡한 선을 눈으로 잘라 내는 것이 아니라, 같은 신호를 시간과 주파수라는 두 표현 사이에서 바꾸는 것입니다.

더 읽기 3 · ‘주파수가 다르면 무조건 분리된다’는 뜻은 아닙니다

영상의 상쇄는 정해진 유효 구간과 주파수 간격이 맞는 이상적인 조건을 사용합니다. OFDM에서는 기본적으로 부반송파 간격을 유효 심볼 시간의 역수로 정해 직교성을 만듭니다. [3]

기호부터 읽어 볼까요? T는 보호 구간을 제외하고 FFT로 분석하는 유효 시간, Δf는 이웃한 부반송파 사이의 주파수 간격입니다. 초의 역수는 Hz, 헤르츠입니다.

관계를 식으로Δf = 1 / T

숫자를 넣어 보면 T가 1 ms, 즉 0.001초인 설명용 예에서는 Δf가 1,000 Hz가 됩니다. 실제 영상이나 특정 이동통신 규격의 값을 지정하는 예는 아닙니다.

말로 풀면 정해진 구간에서 서로 구별되도록 간격을 맞춘다는 뜻입니다. 임의의 두 주파수, 임의의 구간, 어긋난 송수신 기준에서 언제나 비교 합이 0이 되는 것은 아닙니다. 시간·주파수 오차, 잡음과 채널 변화 때문에 실제 통신에는 동기화와 보정이 필요합니다. [4]

다음 질문: 기지국 하나를 여러 사람이 함께 쓰려면

이번에는 여러 주파수 자리에 데이터를 놓고 하나의 신호로 합치는 원리를 봤습니다. 그렇다면 그 자리를 여러 사람에게 나눠 줄 수도 있을까요? 다음 5편은 OFDMA와 자원 스케줄링을 다룹니다. 시간과 주파수의 자리를 누가, 언제, 얼마나 쓰도록 정하는지 살펴봅니다.

이 글은 무선통신 기초 4편입니다. 앞선 1편 ‘전파의 탄생’, 2편 ‘전파에 데이터를 싣는 법’, 3편 ‘전파를 받는 법’과 이어지며, 네트워크 슬라이싱 연재와는 별개의 기초 설명입니다.

출처 및 참고자료

본문의 번호를 누르면 근거로 이동합니다. 영상은 원리를 보여 주는 교육용 모델입니다. 직접 계산한 숫자 예시는 본문에 밝힌 가정에 한정됩니다.

근거와 더 읽을 자료 · 푸리에 분석과 OFDM 4묶음

1. MathWorks, Understanding the Discrete Fourier Transform and the FFT. 주파수별 사인·코사인 기준과 곱해 더하는 해석, 두 성분과 크기·위상, DFT와 FFT의 관계. 함께 읽기: Steven W. Smith, DFT Basis Functions.

2. MathWorks, Discrete Fourier Transform, ifft. 유한 표본의 변환·역변환과 정규화 관례. 연속 신호의 푸리에 변환, 푸리에 급수와 유한 표본의 DFT는 구분해 읽어야 합니다.

3. MathWorks, Basic OFDM with No Cyclic Prefix. 주파수 빈에 변조 심볼 배치, IFFT 송신·FFT 수신, 기준 신호와 비워 둔 빈. 함께 읽기: OFDM Modulation Using MATLAB.

4. MathWorks, OFDM Synchronization. 수신기의 시간·주파수 복구, 채널 추정과 주파수 영역 등화. FFT만으로 수신의 모든 문제가 해결되는 것은 아닙니다.